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CRPE 2015 – Groupement 1

Liste des vidéos disponibles sur la chaîne YouTube CBMaths sur l’épreuve du CRPE 2015 – Groupement 1 :

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Un exercice d’initiation à la démonstration pour les cinquièmes

Voici un exercice que j’ai donné à mes cinquièmes (cela constitue 3/4 de mon DM n°9) d’une difficulté relativement élevée (même pour des bons élèves).

Exercice                 Initiation à la démonstration

Le but de cet exercice est de démontrer les trois propriétés suivantes :

  1. Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
  2. Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
  3. La somme des mesures des angles dans un triangle est de 180°.

PARTIE A : Démonstration de la propriété 1

  1. Tracer un triangle (assez grand) ABC quelconque et non aplati (à vous de choisir les mesures des côtés). On ne vous demande pas de mesurer ou de donner les mesures des angles du triangle ABC.
  2. Tracer une droite (d) parallèle à (AB) passant par C.
  3. Tracer la hauteur (h) du triangle ABC issue du point C.
  4. Placer sur la droite (d) deux points D et E de part et d’autre du point C tel que D et A sont d’un même côté de la hauteur (h) et E et B sont de l’autre côté de la hauteur (h).
  5. Placer le point O milieu du segment [BC].
  6. Construire le point E’, symétrique du point E par rapport au point O.
  7. Montrer que \widehat{ECB} = \widehat{E'CB}
  8. Montrer que \widehat{E'CB} = \widehat{ABC} et donc que \widehat{ECB} = \widehat{ABC}.
  9. Quelle est la nature des angles \widehat{ECB} et \widehat{ABC} ? (repérer les deux droites et la sécante).
  10. Conclure en citant la propriété démontrée (on peut reprendre le même raisonnement pour démontrer que \widehat{DCA} = \widehat{BAC}).

PARTIE B : Démonstration de la propriété 2

  1. On considère la figure tracée en partie A. Tracer la droite (BC) et placer le point F tel que F \in (CB) et F \notin [CB).
  2. Quelle est la nature des angles \widehat{DCF} et \widehat{ECB} ?
  3. Utiliser une propriété vue en cours qui permet de montrer l’égalité \widehat{DCF} = \widehat{ECB}.
  4. Quelle est la nature des angles \widehat{DCF} et \widehat{ABC} ?
  5. En vous aidant de la question B.3 et A.8, établir la validité de la propriété 2.

PARTIE C : Démonstration de la propriété 3

  1. En utilisant la propriété 1, montrer que \widehat{BAC} = \widehat{ACD} et \widehat{BCE} = \widehat{ABC}.
  2. Quelle est la nature des angles \widehat{ACD} et \widehat{ACB} ?
  3. Quelle est la nature des angles \widehat{ACB} et \widehat{BCE} ?
  4. Que peut-on dire la somme des mesure des angles \widehat{ACD}, \widehat{ACB} et \widehat{BCE} ? Justifier votre réponse.
  5. Conclure sur la validité de la propriété 3.

Axes et centre de symétrie d’un triangle isocèle

Ce matin, en cours de mathématiques, on m’a demandé si un triangle isocèle avait des axes et un centre de symétrie. Je réponds à cette question dans ce court article.

A. Triangle isocèle

On appelle triangle isocèle, un triangle qui a deux côtés de même longueurs. Comme un triangle a trois sommets, les deux côtés de même longueur se rejoigne en un même sommet qu’on appelle sommet principal du triangle isocèle.

Exemple : Soit un triangle TRI tel que TR = RI = 5 cm et IT = 4 cm. On dit alors que le triangle TRI est  un triangle isocèle en R ou encore que le triangle TRI est un triangle isocèle de sommet principal R.

Triangle TRI isocèle en R tel que TR = RI = 5 cm et TI = 4 cm
Triangle TRI isocèle en R tel que TR = RI = 5 cm et TI = 4 cm

On appelle base du triangle isocèle, le côté opposé au sommet principal du triangle isocèle. C’est le côté qui a une mesure différente des deux autres côtés. Dans notre exemple, le triangle TRI a pour base le côté [IT].

B. Symétrie axiale et symétrie centrale

Voici un tableau qui résume les divers caractéristiques de la symétrie axiale (vue en 6ème) et de la symétrie centrale (vue en 5ème) :

carac_sym_ax_centrSymétrie axiale :

  • symétrie par rapport à une droite
  • que l’on appelle axe
  • les deux figures se superposent en effectuant un pliage le long de l’axe

Symétrie centrale :

  • symétrie par rapport à un point
  • que l’on appelle centre
  • les deux figures se superposent en effectuant un demi-tour autour du centre

C. Axe de symétrie d’un triangle isocèle

Peut-on plier en deux le triangle TRI de l’exemple pour que les deux parties obtenues après pliage se superposent ?

La réponse est oui. Il suffit de tracer la médiatrice relative à (ou passant par) la base du triangle isocèle. La figure suivante nous montre le pliage à faire et que les deux parties pliées se superposent.

Pliage du triangle isocèle TRI selon la médiatrice relative à sa base
Pliage du triangle isocèle TRI selon la médiatrice relative à sa base

D. Centre de symétrie d’un triangle isocèle ?

On se pose maintenant la question : « Et si on dupliquait le triangle TRI en un autre triangle T’R’I’ et qu’on effectue un demi-tour autour d’un point, est-ce que les deux triangles TRI et T’R’I’ se superposeront ? ».

Arrêtons nous deux minutes sur la « tête » du triangle TRI. Le point (qui est le sommet principal du triangle isocèle TRI) est « au-dessus » du côté [TI]. Mais si on effectue un demi-tour autour d’un point, le triangle T’R’I’ aura la tête en bas (ou encore que le point R’, sommet principal du triangle isocèle T’R’I’ sera « en dessous » du côté [T’I’]).

Donc, aucune chance que les deux triangles TRI et T’R’I’ puissent se superposer. Il n’y a donc pas de centre de symétrie dans un triangle isocèle.

Tentative de recherche d'un centre pour le triangle TRI, ici le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle TRI
Tentative de recherche d’un centre pour le triangle TRI, ici le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle TRI

E. Conclusion

Dans un triangle isocèle,

  • il y a un axe de symétrie, la médiatrice relative à la base ;
  • il n’y a pas de centre de symétrie.