Problème Calendrier Maths 2016 – 18 mars 2016

Le problème ci-dessous provient du Calendrier Mathématique 2016. Pour le commander, cliquez sur l’image ci-dessous :

calendrier_2016_ldm

Pour quels valeurs du paramètre a l’équation 4x^2 + 4ax + a + 6 = 0 a-t-elle des solutions réelles ?

La solution est à la suite de l’article.

Une équation du type Ax^2 + Bx + C = 0 \quad (*) admet des solutions réelles si et seulement si \Delta = B^2 - 4AC \ge 0.

Dans l’équation 4x^2 + 4ax + a + 6 = 0, A = 4, B = 4a et C = a + 6. On forme le discriminant en fonction de a.

\Delta = 16a^2 - 4 \times 4 \times (a+6) = 16a^2 - 16(a+6) = 16a^2 - 16a - 96.

On détermine maintenant les valeurs de a pour que $\Delta \ge 0$. Or $\Delta$  est de la forme du membre de gauche de l’égalité (*). On doit donc calculer \Delta_a et déterminer a tel que \Delta = 0

$latex\Delta_a = 256 + 4 \times 96 \times 16 = 256 + 6144 = 6400 \ge 0$

\sqrt{\Delta_a}= \sqrt{6400}  = 80

a_1 = \dfrac{16-80}{32} = \dfrac{-64}{32} = -2, a_2 = \dfrac{16+80}{2 \times 16} = \dfrac{96}{32} = 3

Comme le coefficient devant a^2 est positif, la fonction $\Delta(a) = 16a^2 – 16a – 96$ est positive à l’extérieure des racines a_1 = -2 et a_1 = 3 donc $\latex \Delta \ge 0$ si et seulement si a \le -2 et a \ge 3.

 

 

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