[SdM2015] Dépassement

Le thème de la « Semaine des Mathématiques » était « Les mathématiques vous transportent ». Pour parler de ce thème, j’avais comme idée de parler de dépassement de voitures et de modéliser avec réalisme le dépassement de voitures.

J’ai, dans un premier temps, dessiné sur GeoGebra, une courbe réaliste de dépassement puis ensuite, dressé une définition de courbe de dépassement. Le problème était posé de trouver une courbe de dépassement répondant à la définition et définie en une fois (et non sur plusieurs intervalles).

Sur Facebook, personne ne trouve et je dois l’avouer que, moi non plus, j’ai trouvé de telles courbes répondant à la définition. Et si bien qu’après, il faille trouver la longueur de la courbe (sur un intervalle bien précis), ce qui me semblait presque impossible !

Je vais donc me contenter de faire un article avec une situation simple (facilement compréhensible) et faire des mathématiques sur cette situation.

LE PROBLEME

Imaginez ! Une Peugeot 206 se faisant dépasser par une BMW M3 en pleine autoroute (l’A1 par exemple)… On va d’abord savoir quelle est la longueur de la Peugeot 206 (modèle 3 portes) et la BMW M3 (modèle F80).

Sur Wikipédia, on peut trouver les données suivantes :

  • Peugeot 206 : 3835 mm (qu’on arrondira à 3840 mm ou 3,84 m) [2]
  • BMW M3 : 4670 mm (ou 4,67 m) [3]

Au départ (au temps t_0), la Peugeot 206 est sur la voie la plus à droite de l’autoroute et la BMW M3 est sur la voie de gauche. La BMW M3 à le pare-choc avant aligné avec le pare-choc arrière de la Peugeot 206, ainsi le pare-choc avant de la 206 est à distance de 3,84 m de la M3. On suppose aussi que la 206 a pour vitesse (constante sur tout le problème) de v_0 et la M3 a pour vitesse (constante aussi) de v_1 si bien que (comme, la vitesse sur autoroute est de 80 km/h mini et 130 km/h maxi [1]), 80 < v_0 < v_1 < 130.

Le dépassement est terminé si le pare-choc arrière de la M3 est aligné sur le pare-choc avant de la 206, c’est-à-dire dès que le pare-choc avant de la M3 est à distance de 4,67 m du pare-choc avant de la BMW M3. On pourrait ajouter une distance de sécurité (il est conseillé de laisser une distance de sécurité de 2 secondes entre deux véhicules [1]).

On souhaite savoir quelle distance et quel temps est nécessaire pour que la M3 dépasse entièrement avec (ADS) ou sans (SDS) distance de sécurité.

SUR UN EXEMPLE

Supposons que v_0 = 90 km/h et v_1 = 110 km/h. Tout d’abord et pour que ce soit plus pratique, on va convertir les vitesses en m/s. On sait que 1 km = 1000 m et 1 h = 3600 s donc il faut diviser les km/h par 3,6 pour avoir les unités en m/s. Ce qui nous donne : m/s

v_0 = \dfrac{90}{3,6} = 25 m/s

v_1 = \dfrac{110}{3,6} \approx 30,5 m/s

Cette conversion d’unités nous parle plus car on a exprimé les unités de longueurs des voitures en mètres (question d’échelle).

On va ensuite calculer le temps et la distance de dépassement sans distance de sécurité (SDS). Il faut donc se poser la question de la position des voitures en t_0 (temps initial) et en t_D (temps de dépassement).

On suppose qu’en t = 0 s, la voiture dépassant (la M3) est à la position 0 et la voiture dépassée (la 206) est à 3,84 m de la M3 donc P_{M3}(0) = 0 m et P_{206}(0) = 3,84 m. En t = 1 s, la M3 aura parcouru 30,5 m et la 206 25 m d’où :

P_{M3}(1) = 30,5 m

P_{206}(1) = 25 + 3,84 = 28,84 m.

On peut donc en déduire facilement une expression algébrique de la fonction P_{M3} et P_{206} :

P_{M3}(t) = 30,5 \times t = 30.5t et P_{206}(t) = 25 \times t + 3,84 = 25t+3,84.

On veut trouver maintenant t_D. En explication du problème, nous avons dit que la M3 dépassait la 206 si elle se trouvait à 4,67 m de la 206. Donc, il faut trouver t_D tel que P_{M3}(t_D) = P_{206}(t_D) + 4,67. C’est une simple résolution d’équation :

30,5 t_D = 25t_D + 3,84 + 4,67 \Leftrightarrow (30,5-25)t_D = 8,51 \Leftrightarrow 5,5t_D = 8,51 \Leftrightarrow t_D = \dfrac{8,51}{5,5} \approx 1,55 s

Ainsi, la M3 mettra 1,55 s et 47,1 m pour dépasser SDS la 206.

AVEC LA DISTANCE DE SÉCURITÉ

Mais que se passe-t-il si on ajoute les distances de sécurité ? D’après le code la route [1], il faut laisser deux secondes d’intervalle entre deux voitures. Deux secondes d’intervalle ? Pour qui ? Pour la voiture dépassée. Il faut donc calculer la distance parcourue par la 206 en 2 secondes. Simple : P_{206}(t+2) - P_{206}(t) =25(t+2) + 3,84 - (25t + 3,84) = 25t - 25t + 50 + 3,84 - 3,84 = 50 m.

Donc, il nous faut résoudre l’équation t_D suivante :

P_{M3}(t_D) = P_{206}(t_D) + 50 + 4,67 \Leftrightarrow (30,5-25t)t_D = 50 + 8,51 \Leftrightarrow t_D = \dfrac{58,51}{5,5} = 10,63 s.

et P_{M3}(10,63) = 30,5 \times 10,63 = 324,46 m.

Avec le respect des distances de sécurite (ADS), la M3 faudra 10,63 s et 324,46 mètres de route pour dépasser la 206.

 

GENERALISATION AVEC LA VITESSE DES DEUX VEHICULES

On reprend la cas de la 206 et la M3 mais cette fois-ci, on prend des vitesses v_0 et v_1 tels que 80 < v_0 < v_1 < 130. On convertit les vitesses en m/s : \tilde{v}_0 = \dfrac{v_0}{3,6} et \tilde{v}_1 = \dfrac{v_1}{3,6}.  En t = 0, P_{M3}(0) = 0 m et P_{206}(0) = 3,84 m. En t = 1, P_{M3}(1) = \tilde{v}_1 = \dfrac{v_1}{3,6} et P_{206}(1) = \tilde{v}_0 + 3,84 = \dfrac{v_0}{3,6}. On peut donc en tirer les expressions algébriques des positions P_{M3} et P_{206} en fonction de t :

P_{M3}(t) = \dfrac{v_0t}{3,6} et P_{206}(t) = \dfrac{v_1t}{3,6} + 3,84

Le temps de dépassement SDS en fonction de v_0 et v_1 est donné par la résolution de l’équation :

P_{M3}(t_S) = P_{206}(t_S) + 4,67 \Leftrightarrow \dfrac{v_1t}{3,6} = \dfrac{v_0t}{3,6}+3,84+4,67 \Leftrightarrow \dfrac{(v_1-v_0)t}{3,6} = 8,51 \Leftrightarrow t_S = \dfrac{8,51 \times 3,6}{v_1-v_0} = \dfrac{30,63}{v_1-v_0}.

La distance de dépassement SDS en fonction de v_0 et v_1 est donné par : D_S = P_{M3}(t_S) = \dfrac{v_1\dfrac{30,63}{v_1-v_0}}{3,6} = \dfrac{30,63v_1}{3,6(v_1-v_0)} = \dfrac{1021}{120}\times \dfrac{v_1}{v_1-v_0}.

Pour calculer le temps de dépassement ADS, il faut calculer la distance de sécurité : d_S = P_{206}(t+2) - P_{206}(t) = \dfrac{v_0(t+2)}{3,6} + 3,84 - \dfrac{v_0t}{3,6} + 3,84 = \dfrac{2v_0}{3,6}.

On peut donc calculer le temps de dépassement ADS en fonction de v_0 et v_1 en résolvant l’équation suivante :

P_{M3}(t_A) = P_{206}(t_A) + \dfrac{2v_0}{3,6} + 4,67 \Leftrightarrow \dfrac{v_1t_A}{3,6} = \dfrac{v_0t_A}{3,6} + \dfrac{2v_0}{3,6} + \dfrac{8,51 \times 3,6}{3,6} \Leftrightarrow (v_1-v_0)t_A = 2v_0 + 30,636

\Leftrightarrow t_A = \dfrac{2v_0+30,636}{v_1-v_0}.

Et enfin, la distance de dépassement ADS est donnée en fonction de v_0 et v_1 par la formule :

D_A = P_{M3}(t_A) = \left( \dfrac{2v_0 + 30,636}{v_1-v_0}\right)\dfrac{v_1}{3,6} = \dfrac{v_1(2v_0+30,636)}{3,6(v_1-v_0)}

 

GENERALISATION AVEC LA LONGUEUR DES DEUX VEHICULES

On prendra L_d la longueur de la voiture dépassée et L_D la longueur de la voiture dépassant. On prendra aussi v_d la vitesse de la voiture dépassée et v_D la vitesse de la voiture dépassant tel que 80 < v_d < v_D < 130.

Soit P_d la position de la voiture dépassée et P_D la position de la voiture dépassant. Les expressions algébriques P_d et P_D sont en fonction de t : P_D(t) = \dfrac{v_Dt}{3,6} et P_d(t) = \dfrac{v_dt}{3,6} + L_d.

Le temps de dépassement SDS en fonction de v_d, v_D, L_d, L_D est donné par la résolution de l’équation :

P_{D}(t_S) = P_{d}(t_S) + L_D \Leftrightarrow \dfrac{v_Dt_S}{3,6} = \dfrac{v_dt_S}{3,6}+L_d+L_D \Leftrightarrow \dfrac{(v_D-v_d)t_S}{3,6} = L_d+L_D \Leftrightarrow t_S = \dfrac{(L_d+L_D) \times 3,6}{v_D-v_d}.

La distance de dépassement SDS en fonction de v_d, v_D, L_d, L_D est donné par : D_S = P_{D}(t_S) = \dfrac{v_D}{3,6} \dfrac{(L_d+L_D) \times 3,6}{v_D-v_d} = \dfrac{(L_d+L_D)v_D}{v_D-v_d}

Pour calculer le temps de dépassement ADS, il faut calculer la distance de sécurité : d_S = P_{d}(t+2) - P_{d}(t) = \dfrac{v_d(t+2)}{3,6} + L_d - \dfrac{v_dt}{3,6} + L_d = \dfrac{2v_d}{3,6}.

On peut donc calculer le temps de dépassement ADS en fonction de v_d,v_D,L_d,L_D en résolvant l’équation suivante :

P_{D}(t_A) = P_{d}(t_A) \dfrac{2v_d}{3,6} + L_D \Leftrightarrow \dfrac{v_Dt_A}{3,6} = \dfrac{v_dt_A}{3,6} + \dfrac{2v_0}{3,6} + \dfrac{(L_D+L_d) \times 3,6}{3,6} \Leftrightarrow (v_D-v_d)t_A = 2v_d + 3,6(L_D+L_d)

\Leftrightarrow t_A = \dfrac{2v_d+3,6(L_D+L_d}{v_D-v_d}.

Et enfin, la distance de dépassement ADS est donnée en fonction de v_d,v_D,L_d,L_D par la formule :

D_A = P_{D}(t_A) = \left( \dfrac{2v_d + 3,6(L_D+L_d)}{v_D-v_d}\right)\dfrac{v_D}{3,6} = \dfrac{v_D(2v_d+3,6(L_D+L_d)}{3,6(v_D-v_d)}

D_A = \dfrac{2v_Dv_d}{3,6(v_D-v_d)} + \dfrac{L_D+L_d}{v_D-v_d}

 

 

SOURCES WEBOGRAPHIQUES :

[1] Saser, l’Autoroute : http://www.saser.fr/autoroute.html

[2] Wikipédia, Peugeot 206 : https://fr.wikipedia.org/wiki/Peugeot_206

[3] Wikipédia, BMW M3 : https://fr.wikipedia.org/wiki/BMW_M3

 

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