Techniques de dérivation d’un monôme (et plus généralement, un polynôme)

Cet article traite de techniques de dérivation d’un monôme (et plus généralement de somme de monômes qu’on appelle polynôme). La toute première partie (1 & 2) peuvent servir aux lycéens et aux étudiants (et pour tous les mathématiciens) qui me lisent pour retrouver la formule de dérivée de monôme. La dernière partie traite de la dérivation d’un polynôme quelconque et relève plus de la récréation mathématique qu’autre chose.

1- Dérivée d’un monôme avec coefficient 1

On veut dériver la fonction f(x) = x^7. Pour cela, on peut développer l’expression suivante :

(x+1)^7 = x^7 + 7x^6 + 21x^5 + 35x^4 + 35x^3 + 21x^2 + 7x + 1

Tiens ! On retrouve la dérivée de f(x) = x^7 dans le deuxième terme de la somme f'(x) = 7x^6.

Ceci est vrai pour tout n \in \mathbb{N} ? Soit n \in \mathbb{N} et f_n(x) = x^n. On sait que la dérivée de la fonction f_n est f_n'(x) = nx^{n-1}. Or si on fait le développement de l’expression (x+1)^n, on trouve :

\displaystyle (x+1)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k}x^{n-k} (Formule du binôme de Newton)

On regarde quand k=1, le deuxième terme de la somme du développement (x+1)^n est \binom{n}{1}x^{n-1} et

\dbinom{n}{1} = \dfrac{n!}{1!(n-1)!} = \dfrac{n!}{(n-1)!} = n

D’où :

PROPOSITION 1 – Soit n \in \mathbb{N}. La dérivée de la fonction f_n(x) = x^n est égale au deuxième terme de la somme dans le développement de l’expression (x+1)^n.

 

2- Dérivée d’un monôme avec coefficient quelconque

Soit n \in \mathbb{N}, a_n \in \mathbb{K} (où \mathbb{K} = \mathbb{R} ou \mathbb{C}). On veut dériver la fonction f_n(x) = a_nx^n avec la méthode vue précédemment.

Prenons un exemple : on veut dériver la fonction f(x) = 7x^4. Le résultat sera f '(x) = 7 \times 4 x^3 = 28x^3. Comment trouver la dérivée de la fonction grâce à un développement du type binôme de Newton ? On pourrait développer l’expression suivante :

(x+7)^4 = x^4 + 28x^3 + 294x^2 + 1372x + 2401

et on retrouve notre dérivée de la fonction f.

Le résultat est valable pour tout n \in \mathbb{N} et tout a_n \in \mathbb{K}. Pour s’en convaincre, on utilise la formule du binôme de Newton :

\displaystyle (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}y^k

avec y = a_n

\displaystyle (x+a_n)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k}(a_n)^k

Le deuxième terme de ce développement est bien : \binom{n}{1}x^{n-1} a_n = a_n \times n \times x^{n-1}, ce qui est bien la dérivée de la fonction $f(x) = a_nx^n$.

PROPOSITION 2 – Soit n \in \mathbb{N} et a_n \in \mathbb{K} (où \mathbb{K} = \mathbb{R} ou \mathbb{C}). La dérivée de la fonction $f(x) = a_nx^n$ est égale au deuxième terme du développement (x+a_n)^n.

3- Dérivation d’un polynôme

ATTENTION : L’article part sur un gros « délire » mathématiques. On n’utilisera pas la méthode décrite ci-dessous pour dériver un polynôme (il suffit de dériver chaque monôme que constitue le polynôme et faire la somme des dérivées). Prenez la suite de l’article comme une « recréation » mathématique.

On veut dériver le polynôme suivant : P(x) = x^5 + 3x^3 + 5x^2 + 1. Pour cela, on s’inspire de ce qui a été fait en haut : on développe l’expression suivante (x+1)^5 + (x+3)^3 + (x+5)^2 + (x+1)^0.

Développons chaque terme de la somme de l’expression donnée :

(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1

(x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27

(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25

(x+1)^0 = 1 + 0

On prend ensuite le deuxième terme de la somme de chaque développement. On obtient alors :

5x^4 + 9x^2 + 10x + 0 = 5x^4 + 9x^2 + 10x = P'(x)

ce qui donne bien la dérivée du polynôme P.

On peut aussi présenter le développement de l’expression (x+1)^5 + (x+3)^3 + (x+5)^2 + (x+1)^0 sous forme d’un tableau.

tab_coef_dev

et on prend la deuxième colonne (celle qui succède au 1 quand on part de la gauche du tableau). On lit donc :

5x^4 + 9x^2 + 10x + 0 = 5x^4 + 9x^2 + 0 = P'(x)

Bien sûr, ce n’est qu’un exemple mais on peut facilement généraliser.

PROPOSITION 3 – Soit n \in \mathbb{N} et (a_1,\ldots,a_n) \in \mathbb{K} avec a_n \neq 0. On considère le polynôme P(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k et l’expression S(x) = \sum\limits_{k=0}^n (x+a_k)^k = \sum\limits_{k=0}^n D_k(x). Chaque expression se développe de la manière suivante :

\displaystyle D_k(x) = (x+a_k)^k = \sum_{j=0}^n d_{kj}x^j

Alors :

\displaystyle P'(x) = \sum_{k=1}^n d_{k2}x^{k-1}

Avant de préciser la forme générale des coefficients d_{ij}, on reprend l’exemple précédent :

(x+1)^5 + (x+3)^3 + (x+5)^2 + (x+1)^0

et on précise les coefficients d_{ij} :

d_{00} = 1, d_{0k} = 0 \quad (\forall 1 \le k \le 6)

d_{1k} = 0 \quad (\forall 0 \le k \le 6)

d_{20} = 1, d_{21} = 10, d_{22} = 25, d_{2k} = 0 \quad (\forall 3 \le k \le 6)

d_{30} = 1, d_{31} = 9, d_{32} = 27, d_{33} = 27, d_{3k} = 0 \quad (\forall 4 \le k \le 6)

d_{4k} = 0 \quad (\forall 0 \le k \le 6)

d_{50} = 1, d_{51} = 5, d_{52} = 10, d_{53} = 10, d_{54} = 5, d_{55} = 1

Si bien que nous avons la matrice D des coefficients d_{ij} de l’expression (x+1)^5 + (x+3)^3 + (x+5)^2 + (x+1)^0.

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 10 & 25 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 9 & 27 & 27 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\end{pmatrix}

On remarque que la matrice D des coefficients est une matrice triangulaire inférieure. Les coefficients du polynôme dérivé de $latex P(x) = x^5 + 3x^3 + 5x^2 + 1$ peut se lire grâce à la deuxième colonne de la matrice D.

Maintenant, donnons une formule claire pour les coefficients d_{ij} dans le cas général. En utilisant la formule du binôme de Newton, on obtient :

d_{ij} = \left\{\begin{array}{ll} \binom{i}{j}a_i^{i-j} & \mbox{ si } i \le j \\ \\ 0 & \mbox{ si } i > j \end{array}\right.

_______________________________________________________________

Recherche pour poursuivre et finir l’article : Techniques de dérivations multiples d’un monôme et d’un polynôme.

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