Retour sur le Problème du Zèbre et du Crocodile

Voici un problème qui a tant fait jaser dans la presse anglaise, soi disant un problème « qui a traumatisé les élèves écossais » car « trop difficile » :

J’avais donné une traduction en français de ce problème sur ma page Facebook CBMATHS :

Un crocodile se trouve à 20 mètres de sa proie. Il voyage à différentes vitesses sur terre et dans l’eau.

Le temps mis par le crocodile pour atteindre sa proie peut être minimiser s’il nage à un point particulier P, à x mètres du bord de la rivière.

Le temps mis, T, peut être mesuré en dixième de secondes, est donné par la formule suivante : T(x) = 5\sqrt{36+x^2} + 4(20-x)

1) a) Calculer le temps mis par le crocodile s’il ne voyage pas sur terre.
b) Calculer le temps mis si le crocodile nage sur la plus petite distance possible.

2) Entre ces deux valeurs extrêmes, il y a une seule valeur de x qui minimise le temps mis. Trouver cette valeur de x et calculer le temps minimum possible.

Trouvant le problème très intéressant, je me suis attelé à rédiger une réponse aux questions posées. Vous pouvez cliquer sur « Lire la suite » si vous avez cherché et si vous voulez comparer les réponses que vous avez trouvé avec les miennes.

Voici donc la résolution du problème :

1) a) T(0) = 5\sqrt{36 + 0} + 4 \times (20-0) = 5 \times 6 + 4 \times 20 = 30 + 80 = 110

Le crocodile mettrait 110 dixièmes de secondes pour rejoindre le zèbre s’il n’y avait que de la rivière.

b) T(20) = 5 \sqrt{36 + 20^2} + 4 \times (20-20) = 5 \sqrt{436} \approx 104.4

Le crocodile mettrait 104.4 dixièmes de secondes pour rejoindre le zèbre s’il n’y avait pas de rivière.

2) Pour trouver le minimum de la fonction T sur l’intervalle [0;20], il faut calculer sa dérivée T' et résoudre l’équation T'(x) = 0.

\displaystyle T'(x) = 5 \times \left(\frac{2x}{2\sqrt{36+x^2}}\right) + 4 = \frac{5x}{\sqrt{36+x^2}} + 4 = \frac{5x + 4\sqrt{36+x^2}}{\sqrt{36+x^2}}

Le dénominateur s’annule jamais car la fonction d(x) = 36+x^2 est toujours positive sur [0;20]. Donc l’équation T'(x) = 0 a les mêmes solutions que l’équation 5x + 4\sqrt{36+x^2}.

T'(x) \Leftrightarrow 5x+ 4\sqrt{36+x^2} = 0 \Leftrightarrow 5x = 4\sqrt{36+x^2}

On peut élever les deux termes de l’équation au carré mais on permet un « sens » de l’équivalence car l’équation n’a plus le même nombre de solutions :

T'(x) = 0 \Rightarrow (5x)^2 = (4\sqrt{36+x^2})^2 \Rightarrow 25x^2 = 16(x^2 + 36) \Rightarrow 25x^2 = 16x^2 + 576

On obtient alors l’équation 9x^2 = 576 à résoudre, ou encre x^2 = 64. Les solutions de l’équation x^2 = 64 sont x=8 et x=-8.

Or, nous travaillons dans l’intervalle [0;20], ainsi la solution x=-8 ne convient pas. On a alors :

T'(x) = 0 \Leftrightarrow x=8

et

T(8) = 5\frac{36+8^2} + 4 \times (20-8) = 5\sqrt{100} + 4\times 12 = 50 + 48 = 98

Si la rivière mesurait 8 mètres, le crocodile mettrait un temps record de 98 dixième de secondes pour rejoindre le zèbre.

Rien de très compliqué dans ce problème hormis (peut-être) le passage au carré. Mais sinon, à mon avis, on peut très bien poser ce problème à des Terminales S lors d’un devoir maison sur les dérivées.

En bonus, voici l’allure de la courbe représentative de la fonction T : x \mapsto 5\sqrt{36+x^2} + 4(20-x).

graphepzc

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