Animation « Ondelette de Fourier » sur GeoGebra

J’ai trouvé une belle animation sur une page Mathématiques sur Facebook :

et je me suis demandé si on pouvait reproduire cette animation sur GeoGebra. Oui ! Et voici comment faire !

1) Construction des cercles de gauche

L’animation se découpe en quatre petites animations (la première est orange, la deuxième verte, la troisième bleue et la quatrième rouge). J’ai choisi de faire une animation par fichier.

On remarque que dans chaque petite animation, il y a deux parties dans l’animation, les cercles en mouvement à gauche et la construction de la courbe résultant du mouvement du point du cercle le plus extérieur de l’ensemble.

On peut commencer par faire la construction des cercles de gauche et créer le mouvement des points en question. On va placer le centre du grand cercle à gauche de la fenêtre (dans le Quadrant II et III du repère orthonormé). Le cercle O du grand cercle aura pour coordonnées (-2;0) et pour rayon 1.

Le cercle vous semble trop petit : on pourra agrandir la figure avec la molette de la souris. Le cercle de centre O pourra être colorié en orange (couleur 255,204,0).  On peut cacher le point O qui ne nous servira à rien durant toute la construction de l’animation.

On souhaite maintenant construire un point M qui tournera autour du cercle orange. Pour cela, on créé un curseur a qui va de 0 à 5\pi \approx 15,70796. Ensuite, on sait que les coordonnées d’un cercle de centre (a,b) et de rayon r sont de la forme (a+r\cos\theta ; b+r\sin\theta)\theta\in\mathbb{R}.

Comme le rayon r vaut 1 et le centre du cercle a pour coordonnées (-2;0), on peut créer un point M de coordonnées (-2+\cos a;\sin a). Animez le curseur (clic droit sur le curseur et « Animer ») et vérifiez que le point M tourne autour du cercle orange.

Si tout est OK, tracez le segment [OM] et coloriez en orange le point M et le segment [OM]. On peut mettre l’épaisseur de ligne du segment à 5.

On va construire maintenant le cercle vert. Ce cercle a pour centre M et pour rayon \frac{1}{3}. On construit ensuite le point N qui parcourt le cercle vert au cours du temps. Ce point N a pour coordonnées (\frac{\cos(3a)}{3}+\cos(a)-2;\frac{\sin(3a)}{3} + \sin(a)). Tracez le segment [MN] et mettez l’épaisseur de ligne en 5. Coloriez le cercle de centre M, le point N, et le segment [MN] en vert.

On a construit les deux premiers cercles. Les deux derniers cercles se tracent de la même manière :

  • cercle bleu : centre N et de rayon \frac{1}{5}. Le point P tournant autour du cercle a pour coordonnées (\frac{\cos(5a)}{5} + \frac{\cos(3a)}{3} + \cos(a) - 2;\frac{\sin(5a)}{5}+\frac{\sin(3a)}{3} + \sin(a)).
  • cercle rouge : centre P et de rayon \frac{1}{7}. Le point Q tournant autour du cercle a pour coordonnées (\frac{\cos(7a)}{7} + \frac{\cos(5a)}{5} + \frac{\cos(3a)}{3} + \cos(a) - 2;\frac{\sin(7a)}{7} + \frac{\sin(5a)}{5}+\frac{\sin(3a)}{3} + \sin(a)).

Enfin, pour séparer la partie « Cercles en mouvement » et « construction des courbes », on peut tracer la droite d’équation x=0.

On obtient alors cette animation là.

2) Construction des courbes

a) Courbe orange (première animation)

On va s’atteler à construire les courbes en temps réel. Commençons par la première animation orange avec un seul cercle.

AVANT CELA, on peut masquer les objets suivants :

  • le cercle vert, bleu et rouge
  • les points N, P, Q
  • les segments [MN], [NP] et [PQ]

La courbe construite rapporte l’ordonnée du point M en fonction du temps. La courbe commence en x=0 et se construit progressivement (c’est-à-dire que la position actuelle du point M(x;y) aura pour coordonnées dans la courbe \mathcal{C}_f (0;y)). Si on trace la fonction f des ordonnées du point M de la manière suivante (commande à taper dans la barre de saisie):

Fonction[sin(x),0,a]

on n’obtient pas l’effet voulu dans l’animation. Il faudra alors taper ceci :

Fonction[sin(a-x),0,a]

pour obtenir l’effet voulu. Vous pouvez animer le curseur a pour voir ce que cela fait. Pour compléter l’animation, on ajoute le segment

Segment[M,(0,sin(a-x))]

et le texte f(x)=sin(x). On obtient l’animation suivante :

On fait la même chose pour les autres courbes.

b) Courbe verte (deuxième animation)

On masque les objets :

  • la courbe orange
  • le texte orange
  • le segment Segment[M,(0,sin(a-x))]

On fait apparaître les objets :

  • le cercle vert
  • le point N
  • le segment [MN]

On trace la courbe (en vert) : Fonction[sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3, 0, a]

On ajoute le segment : Segment[N,(0,sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3)] et le texte (en vert) f(x) = \sin(x) + \frac{sin(3x)}{3}

On obtient alors l’animation suivante :

http://imageshack.com/a/img911/2808/6DjvFp.gif

c) Courbe bleue (troisième animation)

On masque les objets :

  • la courbe verte
  • le texte vert
  • le segment Segment[N,(0,sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3)]

On fait apparaître les objets :

  • le cercle bleu
  • le point P
  • le segment [NP]

On trace la courbe (en bleu) : Fonction[sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3 + sin(5 (a-x))/5, 0, a]

On ajoute le segment : Segment[P,(0,sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3 + sin(5 (a-x))/5] et le texte (en bleu) f(x) = \sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5}

On obtient alors l’animation suivante :

http://imageshack.com/a/img905/4898/cl4V6p.gif

d) Courbe rouge (quatrième animation)

On masque les objets :

  • la courbe bleue
  • le texte bleu
  • le segment Segment[P,(0,sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3 + sin(5 (a-x))/5]

On fait apparaître les objets :

  • le cercle rouge
  • le point Q
  • le segment [PQ]

On trace la courbe (en rouge) : Fonction[sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3 + sin(5 (a-x))/5 + sin(7 (a-x))/7, 0, a]

On ajoute le segment : Segment[Q,(0,sin(a – x) + sin(3 (a – x)) / 3 + sin(5 (a-x))/5 + sin(7(a-x))/7] et le texte (en rouge) f(x) = \sin(x) + \frac{\sin(3x)}{3} + \frac{\sin(5x)}{5} + \frac{\sin(7x)}{7}

On obtient alors l’animation suivante :

http://imagizer.imageshack.us/a/img908/712/qhwW2p.gif

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