Enroulement des points entiers sur le cercle trigonométrique

Dans cet article, nous allons voir comment se comporte les points entiers de la droite réelle quand on l’enroule sur le cercle trigonométrique unité et nous allons classifier ces points selon les quadrants qu’ils occupent.

Avant tout de chose, nous allons définir les objets dont nous avons besoin dans cet article.

1) Définitions

DEFINITION 1. On peut représenter tous les nombres (réels) sur une droite infinie qu’on appelle droite réelle

DEFINITION 2. Comme \mathbb{N} \subset \mathbb{R}, tous les nombres entiers constituent des points à distance régulière (distants de 1) qu’on appelle points entiers.

Ayez en tête l’image d’une corde infinie dont on a fait des nœuds à intervalles réguliers.

ptentiersdroiterelle

DEFINITION 3. Soit (O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}) un repère orthonormé. On appelle cercle trigonométrique, le cercle de centre O et de rayon 1.

On peut enrouler la droite réelle sur le cercle trigonométrique comme montrer sur le schéma suivant : http://math.lyceedebaudre.net/seconde/trigonometrie/enroulement-de-la-droite-des-reels-sur-le-cercle-trigonometrique

DEFINITION 4.

Les deux axes du repère orthonormé (O,\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}) forme quatre quadrants.

  • Le quadrant I est l’ensemble des points dont l’abscisse est positive et l’ordonnée positive ;
  • le quadrant II est l’ensemble des points dont l’abscisse est négative et l’ordonnée positive ;
  • le quadrant III est l’ensemble des points dont l’abscisse est négative et l’ordonnée négative ;
  • le quadrant IV est l’ensemble des points dont l’abscisse est positive et l’ordonnée négative.

2) Points entiers sur le cercle trigonométrique

On enroule la droite réelle sur le cercle trigonométrique. Le périmètre du cercle étant de 2\pi, le point de coordonnées (1,0) correspond au point 0 et aux points de la forme 2k\pi avec k \in \mathbb{Z}.

Le point 2\pi correspond à un angle de 360°. A quoi correspond le point distant de 1 du point 0 du cercle trigonométrique ?
Pour cela, on va tracer un tableau de proportionnalité :

tabpropangleAinsi : 2\pi x = 360 \Leftrightarrow x = \dfrac{360}{2\pi} = \dfrac{180}{\pi} \approx 57,29577. On dira qu’un radian vaut 57,29577 degrés alors qu’un tour de cercle vaut 2\pi radians et 360 degrés.

Bien entendu et comme dit plus haut, un angle de 360 degrés correspond à un angle de 720 degrés (ou encore tout angle du type 360 k avec k \in \mathbb{Z}.

Tous les points entiers sont tous les points correspondant à un angle k\frac{180}{\pi} avec k \in \mathbb{Z}.

On donne la position de tous les points entiers (naturels) du cercle trigonométrique sur GeoGebra. Pour cela,

  • on trace un cercle trigonométrique Cercle[(0,0),1] ;
  • on place un curseur n qui va de 1 à 1000 par pas de 1 ;
  • on créé une séquence de points Séquence[(cos(k*(180/pi)),sin(k*(180/pi))),k,0,n]

Les quatre images suivantes nous donnent la disposition des points entiers sur le cercle trigonométrique :
ptentiers10 ptentiers70 ptentiers250 ptentiers1000

On voit que les points entiers remplissent entièrement le cercle trigonométrique unité. On dit que l’ensemble des points entiers \mathcal{D}_{\mathbb{N}} de la droite réelle enroulée sur le cercle trigonométrique unité \mathcal{C}_{T} est dense dans $\mathcal{C}_T$.

3) Répartition par quadrants

On souhaite donner la répartition des 300 premiers points entiers sur les quadrants. On va donc utiliser la calculatrice TI82 pour faire un programme qui permettra de voir la répartition de ces 300 points entiers sur les différents quadrants que constituent le plan.

On calcule d’abord le reste R de la division euclidienne de \frac{180k}{\pi} par 360 pour k (avec 1 \le k \le 300).

Si

  • 0 \le R \le 90, on place k sur la liste L_1
  • 90 < R \le 180, on place k sur la liste L_2
  • 180 < R \le 270, on place k sur la liste L_3
  • 270 < R \le 360, on place k sur la liste L_4

On remarque aussi que l’on utilise une astuce pour remplir les listes. On remplit les quatre premières listes d’un zéro (pour créer la variable L*), si la dimension de la liste est 1 alors on remplace le premier zéro par la première valeur de k puis on remplit progressivement la liste.

On obtient alors le programme suivant :

EffListe L1,L2,L3,L4
0->L1(1)
0->L2(1)
0->L3(1)
0->L4(1)
Prompt N
For(K,1,N)
180*K/π->A
A/360->B
(B-partEnt(B))*360->R
If R<=180
Then
    If R<=90
    Then
        If dim(L1)=1
        Then
        K->L1(1)
        Else
        K->L1(dim(L1)+1)
        End
    Else
        If dim(L2)=1
        Then
        K->L2(1)
        Else
        K->L2(dim(L2)+1)
        End
    End
Else
    If R<=270
    Then
        If dim(L3)=1
        Then
        K->L3(1)
        Else
        K->L3(dim(L3)+1)
        End
    Else
        If dim(L4)=1
        Then
        K->L4(1)
        Else
        K->L4(dim(L4)+1)32 s
        End
    End
End
End

Pour N=300, ma calculatrice TI82 Stats.fr exécute le programme en 32 secondes. On obtient les quatre listes suivantes :

tabnombreentierOn remarque que les nombres entiers sont plutôt bien repartis dans les quatre quadrants du plan (du fait que 57° correspond à peu près 1/2 quadrant).

SUITE ? Calculer la distance entre les points entiers 1 et 7.

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