Un exercice d’initiation à la démonstration pour les cinquièmes

Publié le Mis à jour le

Voici un exercice que j’ai donné à mes cinquièmes (cela constitue 3/4 de mon DM n°9) d’une difficulté relativement élevée (même pour des bons élèves).

Exercice                 Initiation à la démonstration

Le but de cet exercice est de démontrer les trois propriétés suivantes :

  1. Si deux angles alternes-internes sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
  2. Si deux angles correspondants sont déterminés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
  3. La somme des mesures des angles dans un triangle est de 180°.

PARTIE A : Démonstration de la propriété 1

  1. Tracer un triangle (assez grand) ABC quelconque et non aplati (à vous de choisir les mesures des côtés). On ne vous demande pas de mesurer ou de donner les mesures des angles du triangle ABC.
  2. Tracer une droite (d) parallèle à (AB) passant par C.
  3. Tracer la hauteur (h) du triangle ABC issue du point C.
  4. Placer sur la droite (d) deux points D et E de part et d’autre du point C tel que D et A sont d’un même côté de la hauteur (h) et E et B sont de l’autre côté de la hauteur (h).
  5. Placer le point O milieu du segment [BC].
  6. Construire le point E’, symétrique du point E par rapport au point O.
  7. Montrer que \widehat{ECB} = \widehat{E'CB}
  8. Montrer que \widehat{E'CB} = \widehat{ABC} et donc que \widehat{ECB} = \widehat{ABC}.
  9. Quelle est la nature des angles \widehat{ECB} et \widehat{ABC} ? (repérer les deux droites et la sécante).
  10. Conclure en citant la propriété démontrée (on peut reprendre le même raisonnement pour démontrer que \widehat{DCA} = \widehat{BAC}).

PARTIE B : Démonstration de la propriété 2

  1. On considère la figure tracée en partie A. Tracer la droite (BC) et placer le point F tel que F \in (CB) et F \notin [CB).
  2. Quelle est la nature des angles \widehat{DCF} et \widehat{ECB} ?
  3. Utiliser une propriété vue en cours qui permet de montrer l’égalité \widehat{DCF} = \widehat{ECB}.
  4. Quelle est la nature des angles \widehat{DCF} et \widehat{ABC} ?
  5. En vous aidant de la question B.3 et A.8, établir la validité de la propriété 2.

PARTIE C : Démonstration de la propriété 3

  1. En utilisant la propriété 1, montrer que \widehat{BAC} = \widehat{ACD} et \widehat{BCE} = \widehat{ABC}.
  2. Quelle est la nature des angles \widehat{ACD} et \widehat{ACB} ?
  3. Quelle est la nature des angles \widehat{ACB} et \widehat{BCE} ?
  4. Que peut-on dire la somme des mesure des angles \widehat{ACD}, \widehat{ACB} et \widehat{BCE} ? Justifier votre réponse.
  5. Conclure sur la validité de la propriété 3.
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