[DerivArth] Dérivée arithmétique de fractions k/n sur l’intervalle [0;1]

Dans cet article, nous nous plaçons dans l’intervalle I = [0;1]. Sur XCas, nous avons déjà validé les programmes suivants qui permet de calculer les dérivées arithmétiques d’élément de \mathbb{N}, \mathbb{Z} et \mathbb{Q}.

derivarthN(n):={
local m,p,L,D,N,s;
L := ifactors(n)
si n == 0 ou n==1 alors
retourne(0)
sinon
s := 0;
D := []; N:=[];
tantque nops(L) <> 0 faire
D := [op(D),L(1)]
N := [op(N),L(2)]
pour k de 1 jusque 2 faire
L := tail(L)
fpour
ftantque
pour k de 1 jusque nops(D) faire
s := s + N(k)/D(k)
fpour
retourne(n*s)
fsi}:;

derivarthZ(a) := {si a <> 0 alors retourne(a*derivarthN(abs(a))/abs(a)) sinon retourne(0) fsi}:;

derivarthQ(a,b):= {
retourne((derivarthZ(a)*b-derivarthZ(b)*a)/b^2)
}:;

Ainsi, pour obtenir la dérivée arithmétique du nombre \frac{1}{9}, on tape sur XCas :

derivarthQ(1,9)

-2/27

Dans cet article, on fixe N \in \mathbb{N} et on s’intéresse aux suites (R_n)_{0 \le n \le N} définies par R_n = \frac{n}{N}. Comme 1 \le n \le N, R_n \in I.

Prenons N = 10. Voici les dérivées arithmétiques des termes de la suite (R_n).

seq(derivarthQ(k,10),k=0..10)

0,-7/100,-1/25,-11/100,3/25,-1/4,2/25,-39/100,16/25,-3/100,0

et la représentation graphique des termes de la suite :

GDAR10Sur ce graphique, on voit tout d’abord qu’il y a alternance des termes de la suite (6 termes négatifs, 2 termes nuls et 3 termes positifs).

Augmentons la valeur de N.

Cas où N = 50 :

GDAR50

Cas où N = 200

GDAR200

Cas où N = 1000

GDAR1000

Cas où N = 5000

GDAR5000

Cas où N = 20000

GDAR20000

On peut remarquer que les termes négatifs se comportent comme une fonction linéaire (comme attestent les graphiques pour N grand).

Le terme \frac{N-1}{N} pour N \to \infty semblent tendre vers l’infini.

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