Axes et centre de symétrie d’un triangle isocèle

Ce matin, en cours de mathématiques, on m’a demandé si un triangle isocèle avait des axes et un centre de symétrie. Je réponds à cette question dans ce court article.

A. Triangle isocèle

On appelle triangle isocèle, un triangle qui a deux côtés de même longueurs. Comme un triangle a trois sommets, les deux côtés de même longueur se rejoigne en un même sommet qu’on appelle sommet principal du triangle isocèle.

Exemple : Soit un triangle TRI tel que TR = RI = 5 cm et IT = 4 cm. On dit alors que le triangle TRI est  un triangle isocèle en R ou encore que le triangle TRI est un triangle isocèle de sommet principal R.

Triangle TRI isocèle en R tel que TR = RI = 5 cm et TI = 4 cm
Triangle TRI isocèle en R tel que TR = RI = 5 cm et TI = 4 cm

On appelle base du triangle isocèle, le côté opposé au sommet principal du triangle isocèle. C’est le côté qui a une mesure différente des deux autres côtés. Dans notre exemple, le triangle TRI a pour base le côté [IT].

B. Symétrie axiale et symétrie centrale

Voici un tableau qui résume les divers caractéristiques de la symétrie axiale (vue en 6ème) et de la symétrie centrale (vue en 5ème) :

carac_sym_ax_centrSymétrie axiale :

  • symétrie par rapport à une droite
  • que l’on appelle axe
  • les deux figures se superposent en effectuant un pliage le long de l’axe

Symétrie centrale :

  • symétrie par rapport à un point
  • que l’on appelle centre
  • les deux figures se superposent en effectuant un demi-tour autour du centre

C. Axe de symétrie d’un triangle isocèle

Peut-on plier en deux le triangle TRI de l’exemple pour que les deux parties obtenues après pliage se superposent ?

La réponse est oui. Il suffit de tracer la médiatrice relative à (ou passant par) la base du triangle isocèle. La figure suivante nous montre le pliage à faire et que les deux parties pliées se superposent.

Pliage du triangle isocèle TRI selon la médiatrice relative à sa base
Pliage du triangle isocèle TRI selon la médiatrice relative à sa base

D. Centre de symétrie d’un triangle isocèle ?

On se pose maintenant la question : « Et si on dupliquait le triangle TRI en un autre triangle T’R’I’ et qu’on effectue un demi-tour autour d’un point, est-ce que les deux triangles TRI et T’R’I’ se superposeront ? ».

Arrêtons nous deux minutes sur la « tête » du triangle TRI. Le point (qui est le sommet principal du triangle isocèle TRI) est « au-dessus » du côté [TI]. Mais si on effectue un demi-tour autour d’un point, le triangle T’R’I’ aura la tête en bas (ou encore que le point R’, sommet principal du triangle isocèle T’R’I’ sera « en dessous » du côté [T’I’]).

Donc, aucune chance que les deux triangles TRI et T’R’I’ puissent se superposer. Il n’y a donc pas de centre de symétrie dans un triangle isocèle.

Tentative de recherche d'un centre pour le triangle TRI, ici le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle TRI
Tentative de recherche d’un centre pour le triangle TRI, ici le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle TRI

E. Conclusion

Dans un triangle isocèle,

  • il y a un axe de symétrie, la médiatrice relative à la base ;
  • il n’y a pas de centre de symétrie.
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