Axes et centre de symétrie d’un triangle isocèle

Publié le Mis à jour le

Ce matin, en cours de mathématiques, on m’a demandé si un triangle isocèle avait des axes et un centre de symétrie. Je réponds à cette question dans ce court article.

A. Triangle isocèle

On appelle triangle isocèle, un triangle qui a deux côtés de même longueurs. Comme un triangle a trois sommets, les deux côtés de même longueur se rejoigne en un même sommet qu’on appelle sommet principal du triangle isocèle.

Exemple : Soit un triangle TRI tel que TR = RI = 5 cm et IT = 4 cm. On dit alors que le triangle TRI est  un triangle isocèle en R ou encore que le triangle TRI est un triangle isocèle de sommet principal R.

Triangle TRI isocèle en R tel que TR = RI = 5 cm et TI = 4 cm
Triangle TRI isocèle en R tel que TR = RI = 5 cm et TI = 4 cm

On appelle base du triangle isocèle, le côté opposé au sommet principal du triangle isocèle. C’est le côté qui a une mesure différente des deux autres côtés. Dans notre exemple, le triangle TRI a pour base le côté [IT].

B. Symétrie axiale et symétrie centrale

Voici un tableau qui résume les divers caractéristiques de la symétrie axiale (vue en 6ème) et de la symétrie centrale (vue en 5ème) :

carac_sym_ax_centrSymétrie axiale :

  • symétrie par rapport à une droite
  • que l’on appelle axe
  • les deux figures se superposent en effectuant un pliage le long de l’axe

Symétrie centrale :

  • symétrie par rapport à un point
  • que l’on appelle centre
  • les deux figures se superposent en effectuant un demi-tour autour du centre

C. Axe de symétrie d’un triangle isocèle

Peut-on plier en deux le triangle TRI de l’exemple pour que les deux parties obtenues après pliage se superposent ?

La réponse est oui. Il suffit de tracer la médiatrice relative à (ou passant par) la base du triangle isocèle. La figure suivante nous montre le pliage à faire et que les deux parties pliées se superposent.

Pliage du triangle isocèle TRI selon la médiatrice relative à sa base
Pliage du triangle isocèle TRI selon la médiatrice relative à sa base

D. Centre de symétrie d’un triangle isocèle ?

On se pose maintenant la question : « Et si on dupliquait le triangle TRI en un autre triangle T’R’I’ et qu’on effectue un demi-tour autour d’un point, est-ce que les deux triangles TRI et T’R’I’ se superposeront ? ».

Arrêtons nous deux minutes sur la « tête » du triangle TRI. Le point (qui est le sommet principal du triangle isocèle TRI) est « au-dessus » du côté [TI]. Mais si on effectue un demi-tour autour d’un point, le triangle T’R’I’ aura la tête en bas (ou encore que le point R’, sommet principal du triangle isocèle T’R’I’ sera « en dessous » du côté [T’I’]).

Donc, aucune chance que les deux triangles TRI et T’R’I’ puissent se superposer. Il n’y a donc pas de centre de symétrie dans un triangle isocèle.

Tentative de recherche d'un centre pour le triangle TRI, ici le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle TRI
Tentative de recherche d’un centre pour le triangle TRI, ici le point O est le centre du cercle circonscrit du triangle TRI

E. Conclusion

Dans un triangle isocèle,

  • il y a un axe de symétrie, la médiatrice relative à la base ;
  • il n’y a pas de centre de symétrie.
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